Ինքնաթիռ տիեզերքում. Ինքնաթիռների գտնվելու վայրը տիեզերքում

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Հարթությունը երկրաչափական օբյեկտ է, որի հատկություններն օգտագործվում են կետերի և գծերի ելուստներ կառուցելիս, ինչպես նաև եռաչափ պատկերների տարրերի միջև հեռավորությունները և երկնիստ անկյունները հաշվարկելիս: Եկեք քննարկենք այս հոդվածում, թե ինչ հավասարումներ կարող են օգտագործվել տիեզերքում հարթությունների գտնվելու վայրը ուսումնասիրելու համար:

Ինքնաթիռի սահմանում

Բոլորը ինտուիտիվ կերպով պատկերացնում են, թե ինչ առարկա է քննարկվելու։ Երկրաչափական տեսանկյունից հարթությունը կետերի հավաքածու է, որոնց միջև եղած ցանկացած վեկտոր պետք է ուղղահայաց լինի մեկ վեկտորի վրա: Օրինակ, եթե տարածության մեջ կան m տարբեր կետեր, ապա դրանցից կարելի է պատրաստել m(m-1) / 2 տարբեր վեկտորներ՝ զույգերով միացնելով կետերը։ Եթե բոլոր վեկտորները ուղղահայաց են մի ուղղությամբ, ապա սա բավարար պայման է, որ բոլոր m կետերը պատկանում են նույն հարթությանը:

Ընդհանուր հավասարում

Տարածական երկրաչափության մեջ հարթությունը նկարագրվում է օգտագործելով հավասարումներ, որոնք սովորաբար պարունակում են երեք անհայտ կոորդինատներ, որոնք համապատասխանում են x, y և z առանցքներին: ԴեպիՍտացեք ընդհանուր հավասարումը հարթության կոորդինատներում տարածության մեջ, ենթադրենք, որ կա n¯(A; B; C) վեկտոր և M կետ (x₀; y₀; z_{0): Օգտագործելով այս երկու օբյեկտները, հարթությունը կարող է եզակիորեն սահմանվել:}

Իրոք, ենթադրենք կա ինչ-որ երկրորդ կետ P(x; y; z), որի կոորդինատներն անհայտ են: Համաձայն վերը տրված սահմանման՝ MP¯ վեկտորը պետք է ուղղահայաց լինի n¯-ին, այսինքն՝ նրանց համար սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի: Այնուհետև կարող ենք գրել հետևյալ արտահայտությունը՝

(n¯MP¯)=0 կամ

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Բացելով փակագծերը և ներմուծելով նոր D գործակից՝ ստանում ենք արտահայտությունը՝.

Ax + By + Cz + D=0 որտեղ D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Այս արտահայտությունը կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում: Կարևոր է հիշել, որ x, y և z-ի դիմաց գործակիցները կազմում են հարթությանը ուղղահայաց n¯(A; B; C) վեկտորի կոորդինատները: Այն համընկնում է նորմալի հետ և ուղեցույց է ինքնաթիռի համար։ Ընդհանուր հավասարումը որոշելու համար նշանակություն չունի, թե ուր է ուղղված այս վեկտորը։ Այսինքն՝ n¯ և -n¯ վեկտորների վրա կառուցված հարթությունները նույնը կլինեն։

Վերևի նկարը ցույց է տալիս հարթությունը, դրան նորմալ վեկտորը և հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ:

Առանցքների վրա հարթությամբ կտրված հատվածները և համապատասխան հավասարումը

Ընդհանուր հավասարումը թույլ է տալիս օգտագործել պարզ մաթեմատիկական գործողություններ՝ որոշելու համարոր կետերում հարթությունը կհատի կոորդինատային առանցքները: Կարևոր է իմանալ այս տեղեկատվությունը, որպեսզի պատկերացում ունենաք ինքնաթիռի դիրքի մասին, ինչպես նաև այն գծագրերում պատկերելիս:

Անվանված հատման կետերը որոշելու համար օգտագործվում է հատվածների հավասարում: Այն կոչվում է, քանի որ այն հստակորեն պարունակում է կոորդինատային առանցքների վրա հարթության կողմից կտրված հատվածների երկարությունների արժեքները, երբ հաշվում ենք կետից (0; 0; 0): Եկեք ստանանք այս հավասարումը։

Գրեք հարթության ընդհանուր արտահայտությունը հետևյալ կերպ.

Ax + By + Cz=-D

Ձախ և աջ մասերը կարելի է բաժանել -D-ի՝ առանց հավասարության խախտման։ Մենք ունենք՝

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 կամ

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Նախագծեք յուրաքանչյուր անդամի հայտարարները նոր խորհրդանիշով, ստանում ենք՝

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C, ապա

x/p + y/q + z/r=1

Սա վերը նշված հավասարումն է հատվածներում: Դրանից բխում է, որ յուրաքանչյուր անդամի հայտարարի արժեքը ցույց է տալիս հարթության համապատասխան առանցքի հետ հատման կոորդինատը։ Օրինակ, այն հատում է y առանցքը (0; q; 0) կետում: Սա հեշտ է հասկանալ, եթե զրոյական x և z կոորդինատները փոխարինեք հավասարման մեջ:

Նշենք, որ եթե հատվածներում հավասարման մեջ փոփոխական չկա, դա նշանակում է, որ հարթությունը չի հատում համապատասխան առանցքը: Օրինակ՝ տրված էարտահայտությունը

x/p + y/q=1

Սա նշանակում է, որ հարթությունը կկտրի p և q հատվածները համապատասխանաբար x և y առանցքների վրա, բայց այն զուգահեռ կլինի z առանցքի:

Եզրակացություն ինքնաթիռի վարքագծի մասին, երբՆրա հավասարման մեջ որոշ փոփոխականի բացակայությունը ճիշտ է նաև ընդհանուր տիպի արտահայտության համար, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում:

Վեկտորային պարամետրային հավասարում

Կա երրորդ տեսակի հավասարում, որը թույլ է տալիս նկարագրել հարթությունը տիեզերքում: Այն կոչվում է պարամետրային վեկտոր, քանի որ այն տրվում է հարթության մեջ ընկած երկու վեկտորներով և երկու պարամետրով, որոնք կարող են կամայական անկախ արժեքներ ընդունել։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է ստանալ այս հավասարումը։

Ենթադրենք, կան մի քանի հայտնի վեկտորներ u ¯(a₁; b₁; c₁) և v¯ (a₂; b₂; c₂): Եթե դրանք զուգահեռ չեն, ապա դրանք կարող են օգտագործվել որոշակի հարթություն սահմանելու համար՝ ամրագրելով այս վեկտորներից մեկի սկիզբը հայտնի M կետում (x₀; y₀; z_{0): Եթե կամայական MP¯ վեկտորը կարող է ներկայացվել որպես u¯ և v¯ գծային վեկտորների համակցություն, ապա դա նշանակում է, որ P(x; y; z) կետը պատկանում է նույն հարթությանը, ինչ u¯, v¯: Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել հավասարությունը՝}

MP¯=αu¯ + βv¯

Կամ գրելով այս հավասարությունը կոորդինատներով, մենք ստանում ենք՝

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; բ₂; c₂₎

Ներկայացված հավասարությունը հարթության պարամետրային վեկտորային հավասարում է: ATվեկտորային տարածությունը u¯ և v¯ հարթության վրա կոչվում են գեներատորներ:

Հաջորդ, խնդիրը լուծելիս կցուցադրվի, թե ինչպես կարելի է այս հավասարումը վերածել հարթության ընդհանուր ձևի:

Անկյուն հարթությունների միջև տիեզերքում

Ինտուիտիվ կերպով, 3D տարածության ինքնաթիռները կարող են կամ հատվել, կամ ոչ: Առաջին դեպքում հետաքրքրություն է ներկայացնում դրանց միջև եղած անկյունը գտնելը։ Այս անկյան հաշվարկն ավելի դժվար է, քան տողերի միջև ընկած անկյունը, քանի որ խոսքը երկփեղկ երկրաչափական օբյեկտի մասին է։ Այնուամենայնիվ, ինքնաթիռի համար արդեն նշված ուղեցույց վեկտորը օգնության է հասնում։

Երկրաչափորեն հաստատված է, որ երկու հատվող հարթությունների միջև երկփեղկ անկյունը ճիշտ հավասար է նրանց ուղղորդող վեկտորների միջև եղած անկյունին: Նշենք այս վեկտորները որպես n₁¯(a₁; b₁; c_{1) և n}2_{¯ (a}2_{; b}2_{; c}2_{): Նրանց միջև անկյան կոսինուսը որոշվում է սկալյար արտադրյալից: Այսինքն, հարթությունների միջև ընկած տարածության անկյունն ինքնին կարող է հաշվարկվել բանաձևով՝}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Այստեղ հայտարարի մոդուլն օգտագործվում է բութ անկյան արժեքը հանելու համար (հատվող հարթությունների միջև այն միշտ փոքր է կամ հավասար 90o-ի):

Կորդինատային ձևով այս արտահայտությունը կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

ուղղահայաց և զուգահեռ հարթություններ

Եթե հարթությունները հատվում են, և նրանց կողմից կազմված երկանկյուն անկյունը 90o է, ապա դրանք կլինեն ուղղահայաց: Նման ինքնաթիռների օրինակ է ուղղանկյուն պրիզմա կամ խորանարդ: Այս թվերը կազմված են վեց հարթություններով։ Նշված պատկերների յուրաքանչյուր գագաթում կան միմյանց ուղղահայաց երեք հարթություններ։

Պարզելու համար, թե արդյոք դիտարկվող հարթությունները ուղղահայաց են, բավական է հաշվարկել դրանց նորմալ վեկտորների սկալյար արտադրյալը։ Հարթությունների տարածության մեջ ուղղահայացության համար բավարար պայման է այս արտադրյալի զրոյական արժեքը։

Զուգահեռները կոչվում են չհատվող հարթություններ: Երբեմն ասում են նաև, որ զուգահեռ հարթությունները հատվում են անվերջության վրա։ Հարթությունների տարածության մեջ զուգահեռության պայմանը համընկնում է n₁¯ և n_{2¯ ուղղության վեկտորների այդ պայմանի հետ: Դուք կարող եք ստուգել այն երկու եղանակով.}

Հաշվե՛ք երկփեղկ անկյան (cos(φ)) կոսինուսը՝ օգտագործելով սկալյար արտադրյալը: Եթե հարթությունները զուգահեռ են, ապա արժեքը կլինի 1։

Փորձեք ներկայացնել մի վեկտորը մյուսի միջով՝ բազմապատկելով որոշ թվով, այսինքն՝ n₁¯=kn_{2¯: Եթե դա հնարավոր է անել, ապա համապատասխան հարթություններն ենզուգահեռ։}

Նկարը ցույց է տալիս երկու զուգահեռ հարթություններ:

Այժմ բերենք ստացված մաթեմատիկական գիտելիքների միջոցով երկու հետաքրքիր խնդիր լուծելու օրինակներ։

Ինչպե՞ս ստանալ ընդհանուր ձև վեկտորային հավասարումից:

Սա պարամետրային վեկտորային արտահայտություն է հարթության համար: Գործողությունների հոսքը և օգտագործվող մաթեմատիկական հնարքները ավելի հեշտ հասկանալու համար դիտարկեք կոնկրետ օրինակ՝

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Ընդարձակեք այս արտահայտությունը և արտահայտեք անհայտ պարամետրերը՝

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Հետո՝

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Բացելով փակագծերը վերջին արտահայտության մեջ՝ ստանում ենք՝

z=2x-2 + 3y - 6 կամ

2x + 3y - z - 8=0

Մենք ստացել ենք խնդրի հայտարարության մեջ նշված հարթության հավասարման ընդհանուր ձևը վեկտորային ձևով

Ինչպե՞ս կառուցել ինքնաթիռ երեք կետով:

Հնարավոր է մեկ հարթություն գծել երեք կետերի միջով, եթե այդ կետերը չեն պատկանում որևէ մեկ ուղիղ գծի: Այս խնդրի լուծման ալգորիթմը բաղկացած է գործողությունների հետևյալ հաջորդականությունից՝

գտե՛ք երկու վեկտորների կոորդինատները՝ զույգերով միացնելով հայտնի կետերը;
հաշվիր դրանց խաչաձև արտադրյալը և ստացիր հարթության համար նորմալ վեկտոր;
գրե՛ք ընդհանուր հավասարումը՝ օգտագործելով գտնված վեկտորը ևերեք կետերից որևէ մեկը։

Բերենք կոնկրետ օրինակ. Տրված միավորներ՝