Մարդկության առաջընթացը մեծապես պայմանավորված է հանճարների կատարած բացահայտումներով։ Նրանցից մեկը Բլեզ Պասկալն է։ Նրա ստեղծագործական կենսագրությունը եւս մեկ անգամ հաստատում է Lion Feuchtwanger-ի «Տաղանդավոր մարդ, ամեն ինչում տաղանդավոր» արտահայտության ճշմարտացիությունը։ Այս մեծ գիտնականի բոլոր գիտական նվաճումները դժվար է հաշվել։ Դրանց թվում է մաթեմատիկայի աշխարհի ամենաէլեգանտ գյուտերից մեկը՝ Պասկալի եռանկյունը։
Մի քանի խոսք հանճարի մասին
Բլեզ Պասկալը վաղաժամ մահացավ ժամանակակից չափանիշներով, 39 տարեկան հասակում։ Սակայն իր կարճատև կյանքի ընթացքում նա աչքի ընկավ որպես ականավոր ֆիզիկոս, մաթեմատիկոս, փիլիսոփա և գրող։ Նրա պատվին երախտապարտ ժառանգներն անվանել են ճնշման միավորը և ծրագրավորման հայտնի լեզուն Պասկալ։ Այն օգտագործվում է գրեթե 60 տարի՝ սովորեցնելու, թե ինչպես գրել տարբեր ծածկագրեր։ Օրինակ, նրա օգնությամբ յուրաքանչյուր ուսանող կարող է ծրագիր գրել Պասկալով եռանկյան մակերեսը հաշվարկելու համար, ինչպես նաև ուսումնասիրել շղթայի հատկությունները, մոտորը կքննարկվի ստորև։
Այս արտասովոր մտածողությամբ գիտնականի գործունեությունը ընդգրկում է գիտության տարբեր ոլորտներ: Մասնավորապես, Բլեզ Պասկալը հիդրոստատիկայի, մաթեմատիկական անալիզի, երկրաչափության որոշ ոլորտների և հավանականությունների տեսության հիմնադիրներից է։ Նաև՝
- ստեղծել է մեխանիկական հաշվիչ, որը հայտնի է որպես Պասկալ անիվ;
- ապահովեց փորձարարական ապացույց, որ օդն ունի առաձգականություն և քաշ;
- հաստատվել է, որ բարոմետրը կարող է օգտագործվել եղանակը կանխատեսելու համար;
- հնարել է անիվի ձեռնասայլակը;
- հայտնագործել է օմնիբուսը` ֆիքսված երթուղիներով ձիաքարշ կառքեր, որոնք հետագայում դարձել են կանոնավոր հասարակական տրանսպորտի առաջին տեսակը և այլն:
Պասկալի թվաբանական եռանկյունի
Ինչպես արդեն նշվեց, ֆրանսիացի այս մեծ գիտնականը հսկայական ներդրում է ունեցել մաթեմատիկական գիտության մեջ։ Նրա բացարձակ գիտական գլուխգործոցներից է «Թվաբանական եռանկյունու տրակտատը», որը բաղկացած է որոշակի հերթականությամբ դասավորված երկանդամ գործակիցներից։ Այս սխեմայի հատկությունները ապշեցուցիչ են իրենց բազմազանությամբ, և այն ինքնին հաստատում է «Ամեն ինչ հնարամիտ պարզ է» ասացվածքը:
Մի քիչ պատմություն
Արդար լինելու համար պետք է ասել, որ իրականում Պասկալի եռանկյունին հայտնի էր Եվրոպայում դեռևս 16-րդ դարի սկզբին։ Մասնավորապես, նրա պատկերը կարելի է տեսնել Ինգոլշտադտի համալսարանի հայտնի աստղագետ Փիթեր Ափյանի թվաբանության դասագրքի շապիկին։ Նմանատիպ եռանկյունը նույնպես ցուցադրվում է որպես նկարազարդում:չինացի մաթեմատիկոս Յան Հուի գրքում, որը հրատարակվել է 1303 թ. Պարսիկ նշանավոր բանաստեղծ և փիլիսոփա Օմար Խայամը նույնպես տեղյակ էր դրա հատկություններին 12-րդ դարի սկզբին։ Ավելին, ենթադրվում է, որ նա ծանոթացել է արաբ և հնդիկ գիտնականների ավելի վաղ գրված տրակտատներից։
Նկարագրություն
Պասկալի եռանկյունու ամենահետաքրքիր հատկությունները ուսումնասիրելուց, գեղեցիկ իր կատարելությամբ և պարզությամբ, արժե իմանալ, թե ինչ է այն:
Գիտականորեն այս թվային սխեման իրենից ներկայացնում է անվերջ եռանկյուն աղյուսակ, որը ձևավորվում է որոշակի հերթականությամբ դասավորված երկանդամ գործակիցներից: Նրա վերևում և կողքերում 1 թվերն են: Մնացած դիրքերը զբաղեցնում են թվեր, որոնք հավասար են դրանց վերևում գտնվող երկու թվերի գումարին միմյանց կողքի: Ավելին, Պասկալի եռանկյան բոլոր գծերը սիմետրիկ են նրա ուղղահայաց առանցքի նկատմամբ։
Հիմնական հատկանիշներ
Պասկալի եռանկյունին հարվածում է իր կատարելությամբ։ n համարակալված ցանկացած տողի համար (n=0, 1, 2…) ճիշտ է՝
- առաջին և վերջին թվերն են 1;
- երկրորդ և նախավերջին - n;
- երրորդ թիվը հավասար է եռանկյուն թվին (շրջանների թիվը, որոնք կարելի է դասավորել հավասարակողմ եռանկյան մեջ, այսինքն՝ 1, 3, 6, 10). T -1 =n (n - 1) / 2.
- Չորրորդ թիվը քառանիստ է, այսինքն՝ այն բուրգ է, որի հիմքում եռանկյուն է:
Բացի այդ, համեմատաբար վերջերս՝ 1972 թվականին, հաստատվեց Պասկալի եռանկյունու մեկ այլ հատկություն։ Որպեսզի նրա համարպարզելու համար հարկավոր է այս սխեմայի տարրերը գրել աղյուսակի տեսքով՝ 2 դիրքով տողերի տեղաշարժով: Այնուհետև նշեք այն թվերը, որոնք բաժանվում են տողի համարի վրա: Ստացվում է, որ այն սյունակի թիվը, որում ընդգծված են բոլոր թվերը, պարզ թիվ է։
Նույն հնարքը կարելի է անել այլ կերպ. Դա անելու համար Պասկալի եռանկյունում թվերը փոխարինվում են աղյուսակի տողի թվով իրենց բաժանման մնացորդներով։ Այնուհետև գծերը դասավորվում են ստացված եռանկյունու մեջ, որպեսզի հաջորդը սկսի 2 սյունակ դեպի աջ՝ նախորդի առաջին տարրից։ Այնուհետև պարզ թվեր ունեցող սյունակները բաղկացած կլինեն միայն զրոներից, իսկ բաղադրյալ թվերով սյունակները կպարունակեն առնվազն մեկ զրո։
Կապ Նյուտոնի երկանդամով
Ինչպես գիտեք, սա բանաձևի անվանումն է երկու փոփոխականների գումարի ոչ բացասական ամբողջ թվային հզորության ընդլայնման համար, որն ունի հետևյալ տեսքը՝
Դրանցում առկա գործակիցները հավասար են C m =n! / (m! (n - m)!), որտեղ m-ը Պասկալի եռանկյունու n շարքի հերթական թիվն է։ Այլ կերպ ասած, ձեռքի տակ ունենալով այս աղյուսակը, դուք հեշտությամբ կարող եք ցանկացած թվեր հասցնել հզորության՝ նախապես դրանք բաժանելով երկու անդամի։
Այսպիսով, Պասկալի եռանկյունը և Նյուտոնի երկանդամը սերտորեն կապված են:
Մաթեմատիկական հրաշքներ
Պասկալի եռանկյունի մանրակրկիտ ուսումնասիրությունը ցույց է տալիս, որ.
- -ի հետ տողում գտնվող բոլոր թվերի գումարըսերիական համարը n (հաշված 0-ից) 2;
- եթե տողերը թողնված են հավասարեցված, ապա այն թվերի գումարները, որոնք տեղակայված են Պասկալի եռանկյունու անկյունագծերի երկայնքով, ներքևից վերև և ձախից աջ գնալով, հավասար են Ֆիբոնաչիի թվերին;
- առաջին «անկյունագիծը» բաղկացած է բնական թվերից ըստ հերթականության;
- Պասկալի եռանկյունի ցանկացած տարր՝ կրճատված մեկով, հավասար է զուգահեռագծի ներսում գտնվող բոլոր թվերի գումարին, որը սահմանափակված է այս թվի վրա հատվող ձախ և աջ անկյունագծերով.
- Գծապատկերի յուրաքանչյուր տողում զույգ տեղերում թվերի գումարը հավասար է կենտ տեղերի տարրերի գումարին:
Sierpinski եռանկյունի
Նման հետաքրքիր մաթեմատիկական սխեման, որը բավականին խոստումնալից է բարդ խնդիրների լուծման առումով, ստացվում է Պասկալի պատկերի զույգ թվերը մեկ գույնով, իսկ կենտ թվերը մեկ այլ գույնով գունավորելով։
Սիերպինսկու եռանկյունին կարելի է կառուցել այլ կերպ.
- ստվերավորված Pascal սխեմայում միջին եռանկյունը ներկված է այլ գույնով, որը ձևավորվում է սկզբնականի կողմերի միջնակետերը միացնելով;
- արեք նույնը անկյուններում գտնվող երեք չներկվածների հետ;
- եթե ընթացակարգը շարունակվում է անորոշ ժամանակով, ապա արդյունքը պետք է լինի երկգույն պատկեր:
Սիերպինսկու եռանկյունու ամենահետաքրքիր հատկությունը նրա ինքնանմանությունն է, քանի որ այն բաղկացած է իր 3 կրկնօրինակներից, որոնք կրճատվել են 2 անգամ: Այն թույլ է տալիս մեզ վերագրել այս սխեման ֆրակտալ կորերին, և նրանք, ինչպես ցույց է տրված վերջինըհետազոտությունը լավագույնս համապատասխանում է ամպերի, բույսերի, գետերի դելտաների և հենց տիեզերքի մաթեմատիկական մոդելավորման համար:
Մի քանի հետաքրքիր առաջադրանքներ
Որտե՞ղ է օգտագործվում Պասկալի եռանկյունը: Առաջադրանքների օրինակները, որոնք հնարավոր է լուծել դրա օգնությամբ, բավականին բազմազան են և պատկանում են գիտության տարբեր ոլորտներին։ Եկեք նայենք ավելի հետաքրքիրներից մի քանիսին:
Խնդիր 1. Որոշ մեծ քաղաք, որը շրջապատված է բերդի պարիսպով, ունի միայն մեկ մուտքի դարպաս: Առաջին խաչմերուկում գլխավոր ճանապարհը բաժանվում է երկու մասի։ Նույնը տեղի է ունենում ցանկացած այլ դեպքում: Քաղաք է մտնում 210 մարդ։ Նրանց հանդիպած խաչմերուկներից յուրաքանչյուրում դրանք կիսով չափ կիսվում են։ Քանի՞ մարդ կգտնվի յուրաքանչյուր խաչմերուկում, երբ այլևս հնարավոր չի լինի կիսվել: Նրա պատասխանը Պասկալի եռանկյունու 10-րդ տողն է (գործակիցի բանաձևը ներկայացված է վերևում), որտեղ 210 թվերը գտնվում են ուղղահայաց առանցքի երկու կողմերում։
Առաջադրանք 2. Գոյություն ունի գույների 7 անուն: Պետք է պատրաստել 3 ծաղիկներից բաղկացած փունջ։ Պահանջվում է պարզել, թե քանի տարբեր եղանակներով դա կարելի է անել: Այս խնդիրը կոմբինատորիկայի ոլորտից է։ Այն լուծելու համար մենք կրկին օգտագործում ենք Պասկալի եռանկյունը և երրորդ դիրքում 7-րդ տողի վրա (երկու դեպքում էլ համարակալում ենք 0-ից) 35 թիվը։
։
Այժմ դուք գիտեք, թե ինչ է հորինել ֆրանսիացի մեծ փիլիսոփա և գիտնական Բլեզ Պասկալը: Նրա հայտնի եռանկյունին, երբ ճիշտ օգտագործվի, կարող է իսկական փրկիչ դառնալ բազմաթիվ խնդիրներ լուծելու համար, հատկապես՝ դաշտային.կոմբինատորիկա. Բացի այդ, այն կարող է օգտագործվել ֆրակտալների հետ կապված բազմաթիվ առեղծվածներ լուծելու համար:
